一、提出问题

在新编的高中数学教材中，内容编排上强化了数学建模和数学探究活动，由应用题到解决问题是新教材内容的最大转变，很多章节的例题、习题都涉及了较多的应用背景类情境问题，它是提升学生实践和创新能力的重要载体，是对学生在较为真实的情境中解决问题的能力的考察。从教学目标的要求和核心素养的评价来看，我们的课堂教学都将围绕学生对数学的应用，发展他们解决实际问题的能力而开展，因此随着新课程改革的不断深入，重视中学数学建模活动对发展学生的数学建模素养有很重要的意义。

二、理论依据

数学课程标准明确提出：在呈现作为知识和数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中发现数学问题，构建数学模型，寻求结果，解决问题。数学应用问题一直是培养高中生数学模型的创建能力的主要载体，作为一种课堂活动的模式——数学建模的理论基础是建构主义理论，而将建构主义理论运用到数学教学中的最佳手段之一就是开展数学建模活动。

第三阶段开展“以学生为中心”的三角函数数学建模案例教学——《以三角函数为背景的应用题探究》，学生半自主（问题的发现和提出、模型的选择和建立、模型的求解、模型结果的解释）、教师半参与（提供适当的指导和帮助），完成数学建模活动的全过程。

三、实施过程

（一）新高考背景下，学生的考试题常常出现应用题，而且学生在应用题得分上较其他题差异明显，因此结合日常数学课的教学内容，采取了三角函数模型的简单应用的应用题专题教学的方法，在学完三角函数函数这一章时，收集相关的应用问题给学生讲解，既巩固了三角函数的基本知识，又开阔了学生的视野，同时加深了对数学的应用价值的了解。教学中分别以弹簧振子的运动，它在t秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度h厘米满足下列关系：，t∈[0，+∞）、敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P距离平衡位置的位移y与时间的函数关系为、某港口的水深y（米是时间t的函数可近似的看成、某港口在某季节水的深度随时间变化符合函数为例，发现以上例题均是用函数y=Asin（ωx+）模型来刻画日常的一些匀速圆周运动，重在让学生用现成的数学模型，理解函数y=Asin（ωx+）的现实背景，体会三角函数与现实世界的密切联系。

（二）让学生经历建立模型的过程是数学建模的重要步骤，因此，针对以上应用题教学的局限性，开展简单的数学建模案例教学，以《匀速圆周运动的数学模型》的数学建模案例课为例，依据现实情境，抽象出三角函数模型、培养学生的数学抽象、数学运算及数学建模的核心素养。更主要的让学生尝到了数学建模的味道，而且能对数学建模问题与应用题进行区分和联系，增强了数学建模的兴趣，为数学建模活动的开展打下了基础。

通过筒车模型引入，请学生叙述建模的构想。因筒车上盛水筒的运动具有周期性，从圆周运动这个视角下进行整体分析，帮助学生抽象出相应的数学问题，考虑选用三角函数模型刻画它的运动规律。盛水筒离开水面的高度H与时间t的关系是：就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律了。再以摩天轮为例，摩天轮上座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转，在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，本例与筒车问题相呼应，且来源于学生的真实生活情境，易于激发学生的探究热情，经过充分的讨论，然后考虑选择什么函数模型来刻画这个实际问题，为什么？进一步体会圆周运动与三角函数模型之间的内在联系，感受数学建模思想，体现数学的综合运用和实际应用。本节课更进一步理解函数y=Asin（ωx+）的现实背景，体会三角函数与现实世界的密切联系;而且充分体现了数学建模的核心思想。并且进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会借助三角函数模型刻画实际问题的必要性 。

（三）随着学生对数学建模的认识的深入，开设了深化数学建模素养的探究课——以三角函数为背景的应用题探究课为例，着力培养学生自主构建数学模型和认识数学模型的能力，实现从“教师为中心”到“学生为中心”的高中数学建模教学。

首先借助引例：过点P（2，2）的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，则当PA+PB最小时，直线l的斜率是多少？

以学生的困惑入手，分析选取斜率K作为参数构造函数之后解答的繁琐与易错。然后老师带领同学进一步分析：本题之所以求PA+PB的最小值，是因为直线相当于在做以点P为旋转中心的圆周运动，我们可以用三角函数模型来刻画点P 的运动过程，因此我们可以以直线的倾斜角为参数构造三角函数来表示PA与PB从而去解决这个问题。那么你们能将此问题抽象成生活中的一个实际问题吗？然后带领学生一起走进生活中的等宽的直角走廊问题！将一个抽象的数学问题又还原到我们的现实生活中，再请同学解释这个函数的模型，并进行总结。数学建模的核心价值主要体现在如何将生活中遇到的问题抽象为数学问题，通过数学的手段求解问题，再将数学的结果去解释现实问题。强调数学问题来源于生活的具体情境，同学们平时要学会观察世界，发现生活的现实问题并抽象为数学问题。

其次以著名的最大张角问题（米勒问题）为例，它是德国数学家J·米勒对于欣赏美术作品有关的数学问题的重大思考，搜集生活中与之有关的素材，如欣赏壁画，队员距离底线多远处射球时，所对球门的张角最大？电影院里，坐在哪个位置看电影的视角最大？最大张角问题在水利工程测量和水文测验的实际工作中，对提高测量精确度都具有重要的指导意义，结合频频出现的高考题，从中体验三角函数模型与数学文化的密切联系，数学应用题不同于其他数学题，最大的特点就是其富有很强的生活气息，它会让人感到亲切，绝不是生硬的纯数学题，它源自生活，但我们能够用数学的方法分析、解决它，这不正是数学学习的价值所在吗！

最后以一道高考题为例，同学们选取两种模型规范地解答了本道题，通过小组合作探究：将变形得到，令，换元之后发现与引例中的三角函数的模型是完全一致的！建立函数的模型需要注意选择合适的参数作为变量，随着学生研究思维的拓宽，很自然第找到了换元的方法，发现了建立不同的函数模型其实质是相互统一的！其实这个问题是以我们平面几何中的费马定理为背景而命题，本题所求的点O就是费马点！请同学们课下查阅相关资料了解费马原理并对该模型进行解释。

四、研究的效果与反思

（一）每一次探究之后，同学们都纷纷走上讲台谈自己的收获与感悟，而且课后积极查阅资料，小组内部讨论、交流合作，进一步了解米勒问题（最大张角模型）和费马点问题，能够找出合适的数学模型自主解决应用题，同时在班级展示研究成果。通过对进一步变形的问题的探究，能说出选用模型的优缺点，能够结合数学文化知识检验并解释数学模型，优化数学建模过程，深化数学建模理念，真正体会数学源于生活、服务于生活。在这几个月的行动研究中，让我深刻感受到学生真正经历了数学建模“建”的过程，我的教学视野也开阔了，感受到了数学文化与数学知识融合的魅力，注重知识的横纵向联系，同时渗透人文价值教育，进一步深化了数学建模的核心素养。

（二）总结与反思：此次研究激发了学生的研究兴趣，同学们都感受到数学建模活动的意义和乐趣，设置数学建模活动意在加强数学与学生现实生活的联系，培养学生观察周围世界，逐步学会从数学的角度发现和提出问题，用数学的方法分析和解决现实问题，从而改变单纯机械的解题训练，形成多样化的学习方式，因此，在数学建模专题教学中，一方面要重视教材中的实际应用内容，如投资方案的选择、潮汐的变化规律等实例，注意对教科书给出的背景和问题情境、解决问题的方法和途径进行拓展;另一方面鼓励学生主动地提出研究的课题，选题贴近学生的生活实际，方便操作。数学建模学习的重点在于“过程”“实践”“活动”，在后期的日常教学中，应加强引导学生学会用数学的思维分析、解决生活中的一些现象，尽可能让同学们都能参与到数学建模活动中来，让同学们全过程、全自主地开展数学建模活动，老师在应用题讲评时要充分挖掘数学模型的应用价值，这样才能真正培养学生的数学核心素养。

【本文系2021年合肥市教育科学规划课题研究项目“新课程新教材背景下的高中数学建模教学实践探究”（课题立项号：HJG21174）研究成果】

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]孟振苹.高中数学建模的教学方法与策略研究[D].郑州：河南师范大学，2014：22-23.

[3]张平文.数学建模进入课堂已经成为世界教育的潮流[J].数学教育学报，2017（6）：6-7.