【摘要】文本从2020年山东高考卷第22题出发，让学生通过2个geogebra探究实验，经历“问题与实验——观察与交流——归纳与猜想——验证与推广”的数学探究过程，由浅入深，对椭圆相关的定点定值问题层层深入，引导学生利用geogebra进行探究，得到拓展性结论.

【关键词】geogebra；椭圆；定点定值问题；可视化

一、前言

数形结合是数学教学中最重要的思想方法之一，把数与形结合在一起，有助于学生理解数学问题，对问题进一步地探究与拓展.而geogebra可以把“数”的问题通过“形”直观呈现，一改过往人工画图耗时耗力，无法动态生成的缺点，降低学生的思维成本，加深学生对问题的理解，从而更好地服务教学.

本文以2020年山东卷第22题为引子，引导学生紧扣椭圆的定点定值问题，通过类比，借助geogebra平台进行实验探究，观察后大胆猜想，最后通过演绎推理进行论证，得到更为一般的椭圆中的定点定值问题.

二、教学过程

（一）分析与猜想

【老师活动1】老师向学生呈现原题：

已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）.

（1）求C的方程：

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.

【学生活动1】第1问比较简单，学生通过计算得到椭圆方程为：.

【老师活动2】老师指引学生分析题目，得到关键信息.

【问题1】若存在定点Q，使得|QD|为定值，说明动点D的轨迹方程是什么？

【生答】动点D点的轨迹方程必然是以Q为圆心，为|QD|半径的圆.

【问题2】结合AD⊥MN与点D的轨迹方程是以Q为圆心，|QD|为半径的圆，你得到了什么？

【生答】MN上有一个定点E，使得AE=2AQ.

【ggb实验1探究】请同学们借助geogebra探究：在椭圆上，过点A（2，1）作两条斜率之积为-1的直线，与椭圆分别交于M、N两点（点M、N不同于点O），连接直线MN，拖动点M跟踪直线MN，观察直线MN是否恒过定点？

【ggb实验1结果】通过ggb探究实验，学生可以发现结果确实像他们猜想的那样，直线MN恒过一个定点，见图1.

【ggb实验1设计意图】实验1以ggb软件为平台，开展数学实验，让学生通过观察动态生成过程验证自己分析后的猜想：直线MN恒过一个定点.学生通过亲自动手“做数学”，大大提高了参与数学探究活动的兴趣与热情.

（二）论证与推理

【老师活动3】 老师引导学生求得直线MN恒过的这个定点的坐标.

【问题1】要求直线MN恒过的这个定点的坐标，首先要做什么？

【生答】首先我们要设直线MN的方程为y=kx+m.

【问题2】要说明直线MN过定点，需要说明什么？

【生答】说明参量k、m的关系.

【问题3】如何说明参量k、m的关系？

【生答】要说明参量的关系，需要联立直线与椭圆方程，得到两点的关系，然后借助AM⊥AN找到k、m的关系.

【答案呈现】

三、结语

本文从一道高考题出发，借助geogebra平台呈现知识探究过程，从而使得学生经历实验观察、大胆猜想、严谨证明的过程，最终得到更为一般化的椭圆的定点定值问题中的相关结论与性质.

本节课以4个geogebra实验贯穿教学的各个环节，既对各个环节起到承上启下的作用，也能推进教学过程，由浅入深让学生得到更为一般的数学结论.与常规教学相比，geogebra软件能建立“抽象代数”与“可视内容”之间的直接练习，实现“思维可视化”，使数学的关联性变得可见还可操作.开展基于geogebra软件的数学探究活动，其基本环节为：问题与实验——观察与交流——归纳与猜想——验证与推广.通过实验、观察、猜想、交流、归纳、验证激发学生探究的兴趣，启发思考问题的方向，有意识地引导学生通过归纳类比发现问题，通过演绎推理分析问题，帮助学生理解数学问题的本质，提高数学思维力与核心素养.