【摘要】数学可视化是指将抽象的概念原理、符号表征、结构关系、思想方法等用图形、图像、动画等“可看得见的、清楚呈现”的表征形式表示出来，使人们对数学学习对象有一个形象、直观、整体的认识和理解。”借助软件GeoGebra可实现数学可视化，在解决数学问题的同时提升学生的数学思维。

【关键词】 可视化；GeoGebra；数学思维

在数学教学中抽象的定义、定理等常难以被理解，如果采取数学可视化可以将这些抽象的定义、定理等转化为具体的实物，把数学知识直达想法核心。数学可视化为理解数学知识提供了深度和广度，为解决数学问题指明了方向，激发了学生的思维。就如希尔伯特所说的——“借助视觉想象力去照亮数学的各种事实和问题。”

GeoGebra是一个数学学科软件， 融合了代数和几何的动态变化，通过对图中点或线的拖动展现数学对象在运动与变化中的数学规律，从而发现它们的几何关系或数量关系。通过演示帮助学生理解知识，指明解题的方向，提升数学的数学思维。

中考数学动态问题中函数常结合相似三角形、特殊四边形等，是热门考点。这类题型通常涉及到较为复杂的图形变换，要求考生用一种动态的眼光观察和剖析运动中的图形，若在教学中使用GeoGebra软件，则能使静态的几何问题转化为动态的几何问题，抽象的数学问题变得直观化，从而可以提高学生思维能力和提高中考数学动态问题的教学效率。

“例1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝8，点D为AB中点，P为AC边上一动点，△BPD沿着PD所在的直线翻折，点B的对应点为E．若△PDE与△ABC重合部分的面积等于△PAB面积的，则AP的长.”

【分析】本题是翻折变换（折叠问题）。由题目可知点P在AC上移动，学生折叠时通常只考虑到图1-1的情况，容易漏掉图1-2的情况，就算老师讲解后，想象能力不好的学生也不好理解，若运用geogebra软件建图，拉动点P在直线AC上滑动时，就容易发现ΔPED的点E可能落在ΔAPD的左侧也可能落在ΔAPDR的右侧，即图1-1和图1-2，学生就很容易理解了，而且也容易推广到同类型的动点题。

本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形判定等知识，另外还考查了分类讨论的思想，由S△PDF=S△APD和S△APD=S△PDE得到AF＝PF及EF＝DF则是解决本题的关键（图1-1-1和图1-2-1）。利用可视化方法展示教学的“说理”思路，或尽可能将思维障碍内容进行思维可视化，能够迅速降低学生的学习难度 ，激发学生探索求知的欲望，提升学生的数学思维。

例2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交AC或BC于点D，点E是射线PB上的一点，且PE＝2PD，以PD、PE为邻边作矩形PEFD．设矩形PEFD与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t（秒）。

（1）用含t的代数式表示线段PE的长

（2）当点F落在BC上时，求t的值

（3）当矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式

（4）点Q与点P同时出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度沿B﹣C﹣B往返运动，连接QE、QF，当点P停止时点Q也随之停止，直接写出矩形PEFD面积是△QEF面积的4倍时t的值

【分析】借助GeoGebra，拖拽点P的过程中，矩形DPEF与?ABC的相交情况就清楚地呈现出来了。

【问题（1）分析】由图2和图2-2，可清楚地得到D在AC或BC上两种情况。

当（图2-1）点P与Rt?ABC斜边高线的垂足重合时t=，是点D在AC上还是BC上的分界点；当点P与B重合时，t=2.

【问题（2）分析】如图3-1，根据EF＝2BE，列方程可得结论.

【问题（3）分析】在运用geogebra构建的图中继续拖动点P，并观察所得图形（图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5）

由图2、图3-1可知，矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为矩形，符合题意;

由图3-2可知，矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为五边形，不合题意;

由图3-3可知，当点E与B重合，t=1，此时矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为四边形，符合题意;

由图3-4可知，矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为四边形，符合题意;

由图3-5可知，矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为三角形，不合题意.

其中图3-1，图3-3为矩形运动时的特殊位置。先求边界点时t的值，再把符合题意的图形计算面积可得结论.

【问题（4）分析】在运用geogebra构建的图中继续拖动点P，并观察所得图形（图4-1，图4-2）

如图4-1，当0＜t≤1时，边EF在?ABC内部;如图4-2，当1＜t≤2时，边EF在?ABC外部，故存在两种情况得矩形PEFD面积是△QEF面积的4倍.

本题是有一定难度的四边形综合题，考查了直角三角形的性质、矩形的性质、三角函数和重叠部分的面积，比较复杂。此类题要运用数形结合的思想，先确定特殊位置时的t值，再确定重叠部分图形的形状，最后求其面积，才能不重不漏

借助GeoGebra，实现数学可视化，让学生随着图形运动变化观察变化中数据的特征，把握其中的规律，从而理解题目的内涵，问题也就迎刃而解。数学可视化教学在解析复杂题目时，以最简捷、最明了的方法达到解决问题的目的。在这个教学过程中不但容易激发学生的兴趣，也容易使学生的思维保持在主动探究的状态，从而提升了学生的数学思维也提升了课堂教学的效率。

参考文献：

[1]《GeoGebra环境下数学可视化教学探究——以圆锥曲线与方程为例》