【摘要】数学概念课的教学是一个非常重要的教学环节，那如何进行教学设计，才能有效地在概念课的教学中发展学生的核心素养呢？通过教学实践探究，笔者给出三个维度的教学设计，抛砖引玉，与同行一起探讨。

【关键词】核心素养；数学概念课；教学策略；函数

高中数学教学中的概念课，是教学活动的一个重要环节。如何进行概念课的教学，才能有效地培养学生的核心素养，是一线教师所关心的问题。核心素养最终要通过教学活动来落实，因此我们要以核心素养为导向进行教学设计，即将数学学科核心素养作为数学课程的目标，并体现在日常地教学之中。

下本从数学发生发展的视角、数学文化视角和融合信息技术三个维度来阐述。

一、数学发生发展的视角

HPM视角下的数学教学的基本方法就是重构历史、追求自然的发生教学法，即以学生的认知起点出发，突显所学知识的必要性，呈现知识的自然发生发展过程，激发学生的学习动力。

案例1 对数函数的概念

人教A版《数学必修第一册》4.3.1节“对数的概念”，其教学的重点是对数的概念，难点是理解对数的意义。

（一）对数的历史及其重构

从数学的发生发展视角来理解，整体设计上采用重构式融入数学史，即借鉴对数的历史，追溯对数的思想起源，呈现知识自然发生发展的过程，激发学生的学习动机，促进学生对对数概念本质的理解和应用。

（二）教学设计

【课堂引入】

师生共同观看视频《宇宙》片段，用别开生面的视频给学生强烈视觉冲击的同时，教师提供原始的问题的数据，呈现古代科学家所面临的运算困境。

请同学们用计算器计算15×256，256×4096。

生：15×256=4096，256×4096=1048576。

师：发现了什么规律？

生：16，256对应的幂指数为4，8和为12，对应的幂为4096；同样地，256与4096对应的幂指数之和为20，正是它们的积对应的幂指数。

师：能否把这个现象推广到一般的情形呢？

生：将刚才的数一般化为字母，设M=2m，N=2n，则M×N

=2m+n。

师：那么要计算大数M，N的乘积，参照该数表应该怎么做呢？

生：我们可以直接去找它们对应的幂指数的和，再根据该表就能查到结果。

师：非常好！这正是16世纪数学家们的对应思想。

设计意图：让学生亲身经历古代数学家对大数运算的困惑、优化过程，培养学生数学运算核心素养。

【概念生成】

师：尝试计算：299792.468×31536000。

生：可以通过计算器的table功能找到这两个数对应的幂指数，见下表。

学生完成运算后，引导他们思考以下问题：

问题1 该数表能穷尽所有大数运算吗？

问题2 对于31536，用此方法能找到其对应的精确的幂指数吗？31536究竟等于2的几次方？

生：显然无法穷尽所有大数运算，因为它们不是连续的数，间距太大。

师：可见这一数表虽然好用但不够用，同时大多数的数很难找到甚至找不到对应的精确的幂指数。苏格兰数学家纳皮尔经过二十多年的努力，发明了对数从而解决了这一问题。除了在数学中遇到这样的问题，古人日常生活中也会遇到类似的问题，古巴比伦泥板上就记载：假设年息20%，一定数目的钱经过多长时间成为原来的两倍？

生：设经过年变成原来的两倍，则1.2x=2。

师：方程2x=31536；1.2x=2有解吗？

生：根据指数函数的图象和性质，方程2x=31536；1.2x=2有且仅有一个解。

师：这个解该如何表示呢？我们曾经遇到过像解方程1.2x=2类似的困境吗？

生：初中时遇到边长为1的正方形的对角线，采用了新符号“”。

师：非常好，也就是在引入了“”这个符号后，我们顺利地解决了像2或3这样的非完全平方数的平方根问题。很显然，我们目前所学习的知识无法表示方程1.2x=2中的x，我们需要创造新的符号来表示这个数。纳皮尔将该数称为“logarithm”，这个词由希腊文logos（比）和arithmos（数）组合而成。后来，数学家们又把它简化为“log”。于是方程1.2x=2中的x就可以用新形式的数log1.22来表示，赋予的含义就是：1.2的多少次幂等于2。将其推广到一般情形，就有了对数的定义。

一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

设计意图：以古巴比伦泥板上的利息问题为切入点，说明引入对数的必要性与合理性，培养学生数学抽象与逻辑推理的核心素养。

【理解与应用】

通过讲述动人、曲折的历史故事，激发学生的学习兴趣，让学生意识到进一步完善知识的重要性，使他们乐于进一步钻研和思考，进一步理解对数概念的内涵并进行简单应用。

师：纳皮尔的对数发现一经发表便引起了世人的注意，伦敦数学家布里格斯于1615年慕名专程到爱丁堡看望纳皮尔，他们的旷世之约、彻夜长谈促进了对数的进一步完善，他们使1的对数为0，10的对数为1，且产生了更为简洁有用的常用对数：我们通常将以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lgN。另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e为底数的对数，以e为底数的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN。

设计意图：学生经历亲身体验、深刻感悟后，对概念的理解逐渐从模糊到清晰、由表象到本质，逐步内化并纳入到原有认知结构中，从而培养了学生数学运算和数学抽象等核心素养。

二、数学文化视角

《普通高中数学课程标准（2017版）》指出：数学文化是指数学的精神、思想、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类活动、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。

案例2 数列的概念

人教A版《数学·选择性必修第二册》4.1节“数列的概念”。教学重点是了解数列的概念和表示方法，教学难点是了解数列是一种特殊的函数。“数列的概念”的教学设计如下。

【概念引入】

老师写出一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…引导同学们一起来观察这组数的奇妙性质。

生1：从第3项起，每一项是前两项之和。

生2：从第2项起，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1。

生3：从第2项起，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。

生4：随着这一数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.618…。

师：这组数是意大利数学家斐波那契发现的，因此这个数列又叫斐波那契数列。

然后教师通过这个例子引出数列及相关概念。

设计意图：利用数学文化引入，介绍数学家或数学史，可提高学生的学习兴趣和求知欲。通过数学文化的领航，抽象出数列的知识框架，明确数列的学习目标，为这节乃至整个单元的学习做好铺垫。

【概念理解】

师：由数列的概念可以发现，由项的序号可得对应项，即对于每一个序号，都有唯一的项与之对应，你能从中得到什么启示？

生5：数列是函数。

师：很好，所以数列也是种函数，那么数列与函数有何联系与区别？

生6：数列是种特殊的函数，特殊在定义域在正整数集或它的有限子集，图象是一些孤立的点。

师：通项公式可看作数列的函数解析式。利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列哪些方面的性质？

生7：写出该数列的某些项。

生8：写出该数列的任何一项，或者判断某个数是否为该数列中的项。

生9 ：判断该数列的增减性以及是有穷数列还是无穷数列。

生10：求该数列的最大项或最小项。

师：你是用什么方法得出以上的性质？

生11：列表、图象、通项公式等。

设计意图：了解数列是一种特殊函数，这是数列概念的核心，学生知道这点后，在今后研究数列时，就懂得可以类比研究函数的方法。研究对象从函数到数列是变了，但“研究套路”不变，研究方法不变！这就是数学基本思想、基本活动经验的力量！由此发展了学生的数学抽象核心素养。引导学生从图象、列表、通项公式等方法表示数列，与函数的表示方法进行类比，进一步认识数列的函数本质，发展了学生的直观想象素养。

三、融合信息技术

案例3 三角函数的概念

人教A版《数学·必修第一册》5.2节“三角函数的概念”，其教学重点和难点都是三角函数的对应关系。

【创设情境，明确问题】

师：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表。如图7所示，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转。在把角的范围推广到任意角后，我们可以利用角α的大小变化刻画点P的位置变化。根据弧度制的定义，角α的大小与⊙O的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动。现在的任务是：

如图2所示，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况。

问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为可以按照怎样的路径研究上述问题？

师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论得出研究路径是：

明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质。

设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向。

【分析具体事例，归纳共同特征】

师：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题。如图3所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为（1，0），点P的坐标为（x，y）。射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP。

问题2：当时，点P的坐标是什么？当或

时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？

一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？

追问：利用信息技术，任意画一个角α，观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？

师生活动：教师利用GGB或者几何画板展示动态过程，学生观察，讨论。

生：对于R中的任意一个角α，它的终边OP与单位圆的交点为P（x，y），无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的。

教师补充：这里有两个对应关系：

：实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y，

g：实数α（弧度）对应于点P的横坐标x。

根据上述分析，：R→[-1，1]和g：R→[-1，1]都是从集合R到集合[1，1]的函数。

设计意图：以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生明确任意角集合中的元素与单位圆上点的坐标的集合之间是如何对应的，确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备，发展了学生直观想象与数学抽象的核心素养。

高中数学课程相对初中数学，对学生的能力要求提高了很多。而要学好高中数学的关键就是先把数学概念、基本定理和基础知识理解透彻，这需要我们教师在教授数学概念课时，充分考虑学生的学情、让学生亲自参与、亲身经历，分解教学难点，让学生理解知识的来龙去脉与发生发展过程，这样学生更容易接受，从而培养学生的学习能力、发展学生的核心素养。

【本文系同安区教育科学“十四五”规划2021年度课题“核心素养下高中数学概念课教学策略研究——以函数和解析几何为例”（课题编号：KYZ2133）部分研究成果】

参考文献：

[1]蔡海涛，林运来.核心素养下高中数学概念课教学策略[J].数学通报，2019（9）.

[2]章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M].上海：华东师范大学出版社，2021.