【摘要】学习数学的正确途径是实行“再创作”，教师要引导学生进行再创造，而不是把知识灌输给学生，正所谓：授之以鱼，不如授之以渔.

【关键词】折纸;GeoGebra

提起圆锥曲线，很多人的第一反应就是：好难！总觉得圆锥曲线高高在上，我们都在仰视。我们在学习圆锥曲线的时候，在一定程度上是在被动的接受知识，没有真是感受到圆锥曲线的形成，当然，课堂上也有部分老师讲过dandelin双球模型，或者用平面去截圆锥，我们也也感受圆锥曲线的神奇，但是很多同学可能还是觉得很深奥，今天，我就从一个非常接地气的角度——折纸，带大家认识圆锥曲线.

过于枯燥、死板地学习数学，是无法真正激起学生学习数学的兴趣的，而来源于我们生活中的数学，则更能使学生真切体会到数学的真实性，让大家感受到原来数学就在自己身边，也让我们能更加透彻地理解和掌握数学知识.在我们固有的印象中，折纸只能折出直线的图形，因为从我们折纸的过程中我们真切的感受到：无论如何，折痕都是直的.实际上，这是一种误解！足够多的直的折痕，有时也能围出优美的曲线.借助GeoGebra，更能够直观的感受圆锥曲线的形成过程，让曲线动起来.

GeoGebra=Geometry+Algebra，就是“几何+代数”，是进行数学学习、数学教学以及数学各类研究的强有力工具.该软件功能非常强大，可以进行计算，也可以利用其自带的几何工具来进行画点、直线、线段、多边形、平面、空间几何体、圆锥曲线、切线……，进行动态跟踪，让数学更加直观和具体。

引例：如图，取一张圆形纸片，其圆心记为点，点是圆内异于点的一个定点，点是圆周上的一个动点.我们把纸片进行折叠，使得点与点重合，然后再展平纸片，折痕（如虚线所示）与直线O相交于点.当点在圆周上运动时，则点的轨迹是（     ）.

A.圆        B.椭圆        C.双曲线      D.抛物线

我们会发现：将纸片每折叠一次，纸片上就会有一条直线，这条直线就是折痕，如果我们不断地重复这个折纸的动作，纸片上就会显示出一条清晰的曲线的轮廓，实际上，我们就是“折”出了这条曲线.

这个折纸的过程很简单，都是在重复相同的动作，过程虽然不难，但是却比较繁琐，如果想要使点取遍圆周上的所有点，那这个工作量就会非常大，这就我们人力所能及的范围，今天我们就借助一个强大的数学软件——GeoGebra，帮助我们折纸，让点真正动起来，借助GeoGebra，我们真切感受到了椭圆的形成。利用GeoGebra做出动画，通过动画，我们一眼就能看到所有的折痕就能衬托出一个椭圆的形状.按照上述的折法，折痕就是圆O的半径OA的中垂线，“折”出来的其实是椭圆.下面我们严格证明一下：

如图，设圆的半径为R，连接PM，则点P为线段AM的中垂线与圆O的半径OA的交点，由中垂线的性质，|PM|=|PA|，又|PA|+|PO|=|OA|=R，|PM|-|PO| =R>|OM|，该表达式即为椭圆的定义，则点P的轨迹为椭圆.

其实，折纸法建立在包络的基础上，折痕就是包络线. 在上述的操作方法中，中垂线就是折痕，也叫做包络线.其实，在上述折纸过程中，每一条折痕都是椭圆的切线，这无数条切线就把椭圆“包”住了.

变式：在上述例子中，我们把点移到圆外，此时点轨迹又是什么呢？

我们同样可以“折”出这条曲线，可以直观的看到是双曲线.

借助GeoGebra 的演示，我们就可以清晰地看到点的轨迹就是双曲线，同样，我们也能严格证明：

设圆的半径为R，连接PM，则点P为线段AM的中垂线与圆O的半径OA的交点，由中垂线的性质，则|PM|=|PA|，又|PA|-|PO|=|OA|=R，所以|PM|-|PO|=R<|OM|，则点P的轨迹为双曲线.

同样，中垂线就是折痕，也就是包络线，也就是双曲线的切线。

我们利用圆形纸片就可以“折”出椭圆和双曲线，到了这里，我们肯定会有一个想法：我们可以“折”出抛物线吗？答案是肯定的。

如下图所示：取一张长方形的纸片，先找到BC边的中点F，然后将点F折到BC边的对边（AD边）的任意一个位置，记为点E，过点E作AD的垂线交折痕于点P，则点P的轨迹为抛物线。一样地，我们借助GeoGebra 做出动画，就能清晰的看到点的轨迹就是抛物线.

证明如下： 连接PF，则点P为线段EF中垂线上的点，所以|PE|=|PF|又点F为BC边上的一个定点，|PE|为点P到定直线AD的距离，由抛物线的定义知点P的轨迹为抛线。

其中，折痕就是抛物线的切线，也就是包络线.

引申练：

将长方形纸片ABCD以EF为折痕折叠（点F在BC边上，点E在边AD或者CD上），使每次折叠后点C都落在AB上，此时，将点C记为点C'，然后展平纸片，过点C作垂直于AB的折痕与折痕EF交于点P，则点P的轨迹是（      ）

A.圆              B.椭圆         C.双曲线        D.抛物线

解答：由题意知|PC|=|PC'|，所以点P在以点C为焦点，以AB为准线的抛物线上.故选D.

实际上，圆锥曲线就“生活”在我们的生活中，生活中最常见的一个例子，应该就是我们天天用、人人用的水杯，我们随便用一个圆柱体的水杯盛半杯水，当我们把水杯平放时，水面就是一个圆面，若把水杯倾斜一个角度，水面就会变成一个椭圆.我们的四周充满着圆锥曲线，而“折”出来的圆锥曲线，不仅接地气，具有浓浓的生活气息，大家都能操作，圆锥曲线不再高高在上，折纸还能较好地还原圆锥曲线本来所特有的本质.特别是在GeoGebra的帮助下，使“折纸”更加容易，让圆锥曲线动态的、清晰的呈现在我们的面前，圆锥曲线不再抽象，它使得我们的教学、学习可视化，让数学“动”起来.

我们借助GeoGebra，我们就可以把高高在上的数学拉近我们的身边，看清数学知识的本质和奥秘.

参考文献：

[1][美]托马斯·赫尔（Thomas Hull） 著，张文娟，叶雅玲，译.折纸设计的秘密——折纸模型中的数学世界，2017（5）.

[2]王贵军.GeoGebra与数学实验，2017（9）.

[3]闻杰.高考数学拉档提分全攻略——解析几何，2018（5）.