【摘要】数学解题的关键是善于挖掘已知条件的“内涵”，即所谓的隐含条件，并为我所用。在某些解析几何问题中，虽然表面上已知条件看似与圆无关，但深挖下去，圆便会“浮出水面”，这个“隐圆”，能帮助我们打开解题思路，直达成功彼岸。本文深入地剖析了隐圆问题当中的三大类型，每种类型从基本模型到针对性的例题分析，再进行变式、举一反三，思路循序渐进，条理清晰，对引导学生突破“隐圆问题”这个难点有关键性的作用，对中考备考也有一定的研究意义。

【关键词】隐圆问题;基本模型;最值;转化思想

一、研究背景

几何求最值是初中数学难点之一，而“隐圆”问题便是常见的一类考题，此类问题综合性强，隐蔽性强，计算复杂，导致大部分学生丢分。近年来在全国各地的中考或名校的模拟考试中经常会出现“隐圆”求最值的问题，广大学生在此问题上经常丢分，甚至已经到了谈“隐圆”变色的地步。

回顾2021年的广东省中考数学卷，可以发现“隐圆问题”占据了重要位置。其中选择题第10题和填空题第17题都出现了隐圆问题，而且题目当中不配图，难度系数加大，尽管各位老师在中考备考都有加强这一个板块的复习训练，但是由于此类题型难度大，变式多，大部分学生还不能系统地突破难点，甚至无从下手。加之在考场中考生遇到难题后情绪容易不稳定，极大地影响了考生临场的发挥，考试情况不容乐观。因此对此类问题进行深入剖析至关重要。

二、概念解析

何谓“隐圆”？所谓“隐圆”就是题目中明明有圆或者牵扯到圆，但题目的图形中没有画出此圆甚至题目不配图，解题者需要通过对题目的条件进行分析，找到题目条件隐藏下的圆。然后利用圆中的性质使得模糊问题清晰化、复杂问题简单化。

三、“圆”来如此

（一）类型一

当题目中出现到定点的距离等于定长的点（或动点）即可考虑“隐圆”。此即“定点定长存隐圆”。

1.定点定长的“前世今生”

2.典型例题

例1 如图在四边形OABC中，AB=OA=OB=OC，则∠ACB的大小为__________________度。

例1题图

分析：此题若直接从四边形问题入手会比较棘手，甚至无从下手;但若观察到题目中点A、B、C三点到O点的长度相等，想到“定点定长存隐圆”。那么A、B、C三点就在以O为圆心以OA为半径的圆上，此时问题就很容易解决了。

3.变式题

如图，先对折矩形纸片ABCD，使得AD边与BC边重合，得到折痕EF，P为BC边上任意一点，沿着EP折叠△EBP，使得点B落在B’处.已知AB=4，AD=6，则线段DB’的最小值为________________。

分析：此题由于点P是线段BC上任意点，根据题意点B’会随着点P动而动，单凭想象很难得出点B’在什么位置时DB’的长度最小。但如果能根据折叠的性质得到线段BE=B’E，再结合“定点定长存隐圆”就容易得出点B’运动的轨迹是以点E为圆心，BE长为半径的半圆，最后把问题转化为圆外一点D到圆上一点的最短距离，那么所求问题也就清晰明了。

（二）类型二

在一个四边形中，若有一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。此即“对角互补存隐圆”。

1.四点共圆的“前世今生”

2.典型例题

例2 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为斜边AB的中点，E是AC上一动点，过点D作DF垂直DE交BC于F点，连接EF。则EF的最小值是____________________。

解析：由题可知，在四边形EDFC中，∠ECF=∠EDF=90°（即对角互补），所以此时E、D、F、C四点共圆，且EF为圆的直径。此问题可转化成圆内问题进行解决。

3.变式题

如图，定长弦CD在以AB为直径的圆O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=4，AB=9，求PM长度的最大值__________________。

分析：由于M是CD的中点，所以，连接OM后OM⊥CD，又因为CP⊥AB，所以OMCP四点共圆，且OC为直径，PM为弦，所以PM最大就是圆的直径，此时问题得以解决。

（三）类型三

在一个动态三角形中，一条固定的边所对的角恒定不变，那么这三点（两定一动）在同一个圆（弧）上。此即“定线（弦）定角存隐圆”。此种类型是近年来全国各地中考中最热门的一个考点。

1.定弦定角的“前世今生”

解题锦囊：熟悉特殊的圆周角所对的弦与半径之间的关系有助于我们快速理解及解决问题：圆周角为30°或150°所对弦长为r;圆周角为45°或135°所对弦长为;圆周角为60°或120°所对弦长为;圆周角为90°所对弦长为2r。若能掌握这些规律，可为相关类型题目的解答带来很大方便。

2.典型例题

例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_______________________。

解析：本题考查了圆周角定理以及圆外一点与圆的最短距离问题，还需做辅助线才能找出“隐圆”，难度较例3略有增加。若能抓住CD为直径这个条件，连接CE，即得∠CEB=∠CED=90°，且不管CD如何变化，∠CEB和∠CED保持90°不变，这样就把“会变”的条件转化成了定量，再加上线段BC为定值，所以点E的轨迹是以BC的中点为圆心，CB为直径的圆弧，这样问题就转化成圆外一点与圆的最短距离问题。

3.链接中考

（1）（2021，广东，第17题）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为____________________。

解析：根据题意，明显看出此处有定弦AB，定角∠ADB，结合“定弦定角存隐圆”可以确定动点D就在隐圆⊙O（假设点O为圆心，即∠AOB=90°）上。接下来有两种可能：点D在AB的左侧或右侧，因为题目中求的是线段CD长度的最小值，因而可以确定点D和点C必须在AB的同一侧。作△ABD的外接圆O，连接OC，当O，D，C三点共线时，CD的值最小，将问题转化成了点圆的最值问题。本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点，题目中没有配图，难度较大，需要根据条件进行发散思维，解题关键在于确定出点D的运动轨迹。

（2）（2021，广东，第10题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB.连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为（A）

解析：本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，而且题目中没有配图，难度非常高。关键是要找出点M为定点，从而得到“定弦OM”，再结合题目中的条件得到“定角∠OCM=90°”，最终确定出点C的轨迹为以OM为直径的一段优弧，再求最值。

综上，本文针对“定点+定长”“对角互补”“定线 + 定角”等三类隐圆问题进行了归类、总结、反思。该类问题可以在三角形、四边形、 圆、函数等背景下考查，用到了几何、代数等知识，综合性强，难度也较大，是很多学生“望而生畏”的考点。其实通过文中例题和变式题可以发现，这些题目“万变不离其宗”，关键是如何化“隐圆”为“显圆”，再通过转化思想把线段的最值问题转化为“圆外一点到圆上的点的最值问题”进行解决。当然，此类问题类型还有很多，“隐圆”问题也还有其他多种形式，其中蕴含的思想方法需要我们在教学过程中不断提炼、归类、总结反思。

参考文献：

[1]邓杰.解析几何中的“隐圆”问题[J].中学数学，2018（11）：35-37.

[2]李玲玲.对于“定线+定角”类隐圆问题的思考[J].数理化学习（初中版），2019（6）：31-36.