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列方程解应用题的解题技巧探究

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摘 要:采用分类比较和借用“桥梁”这两中方法更能有效快速地找到数量关系和相等关系,列出所求问题的方程。

关键词:列方程解应用题;解题技巧

列方程解应用题是中学阶段数学课程中的重要内容,它是培养学生分析问题和解决问题能力的重要知识,然而这部分知识恰恰是很多学生觉得难于处理和不易掌握的。对于知识点学生几乎能全部掌握,而实际操作有时却无法理清数量关系,对一些题目无从下手。其实对列方程解应用题在解题过程中,我觉得采用分类比较和借用“桥梁”这两中方法更能有效快速地找到数量关系和相等关系,列出所求问题的方程。

下面我用实例就分类比较和借用“桥梁”法加以说明。

1 用分类比较法解列方程应用题:

例1.“我现在的年龄是我在像你现在年龄时你那时年龄的两倍。当你到我现在年龄时,咱俩年龄和是63岁”。这句话表明他俩现在的年龄各是多少岁?

解:这是一个很绕人题,乍看起来似乎不知在说什么,自然无法理清题意,但我做一下分类比较,就豁然明了起来,请看:

经过这样分类比较,再结合题意可设:我现在的年龄为x岁,你现在的年龄为y岁,那么,我像你现在的年龄为y岁,你那时的年龄为y岁,你到我现在的年龄x岁, 我到你那时的年龄为x+x-y岁。

因为他们俩相同年数内各自的年龄差相等,且俩人的年龄和为63岁

于是,我们可以列出方程组为:

解这个方程组得,

所以,我现在的年龄是27岁,你现在的年龄是18岁。

例2.一块锡铝合金,在空气中称得重120千克,在水中称得重106千克,且知在空气中称得15克纯锡在水中称得13克,在空气中称得35克的纯铝在水中称得32克,问这块合金中纯锡和纯铝各多少克?

经过分类比较,设此合金中纯锡x千克,纯铝y千克。则,空气中x千克的纯锡中重

x千克,空气中y千克的纯铝中重y千克。

于是,根据题意,列出方程组为

解这个方程组得,

所以,纯锡78千克,纯铝42千克。

在列方程解应用中很多题型都能用这种方法去解,只要进行分类比较,很容易找到数量关系,然后根据题意找出相等关系,从而列出方程,求得结果。

2 借用“桥梁”法解列方程应用题

有些列方程应用题未知条件较多,但有的未知条件在题目可以当作已知条件来用,,此时,可以把某些未知条件作为“桥梁”,从未知过度到已知,使问题得到解决。

例1、某商场在一楼至二楼间安装一台自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一个男孩和一个女孩同时从一楼通过自动扶梯走到二楼(扶梯本身也在行驶),如果男孩与女孩做匀速运动,且男孩每分钟走的扶梯级数是女孩的2倍,已知男孩走了27级到达扶梯顶部,而女孩走了18级到达顶部,求扶梯露在外部的部分有多少级?(设男孩、女孩每次只走一级台阶)

解:求扶梯露在外部的台阶数,不求扶梯和两个孩子走的速度,但他们的速度对解题至关重要,于是我们需要把他们的速度作为“桥梁”帮助我们解出扶梯露在外部的台阶数。

设扶梯露在外部的台阶数为x级,扶梯运动的速度为a级/分,男孩走的速度为2b级/分,女孩走的速度为b级/分。

根据题意得到,

解方程组得,

所以,扶梯露在外部的台阶数是54级。而a和b只是作为桥梁,为我们解铺路,它们本身不用求结果。

例2、甲乙两公司合作完成修路任务,甲公司修10千米,乙公司修16千米,甲乙两公司经过精心安排,在不影响本公司施工进度的前提下,两公司互相支援对方,结果他们提前一年完成任务。已知甲公司支援乙公司的进度是本公司施工进度的,问乙公司支援甲公司的施工进度是乙公司施工进度的几分之几?

此题尽管不求原计划用几年完成修路任务,但如果我们把它作为一个“桥梁”假设出来会给求解带来方便。

解:设乙公司支援甲公司的施工进度是乙公司施工进度的x倍,原计划两公司用y年完成任务。利用提前一年完成任务作为等量关系,列出方程

解方程组得x=

所以,乙公司支援甲公司的施工进度是乙公司施工进度的。而

原计划两公司用y年完成任务中的y也只是作为桥梁,为我们解题铺路,它本身用不着求出结果。

这两种方法不仅能有效地解决列方程解应用题的问题,而且在许多数学解题中,如果抓住这种解题技巧的特点,能轻松自如地解决数学问题。

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