［摘要］因数与倍数的相关概念对学生而言比较抽象、枯燥。笔者对数学概念追本溯源获得教学启示：借助几何直观，引导学生通过动手操作、规范的语言表达、构建概念图等方式，使“概念”可视化。

［关键词］追本溯源；几何直观；概念构图；可视化

概念教学是小学数学教学的难题，如何使处于形象思维的小学生理解抽象的数学概念是小学数学教学经久不衰的话题。为了让学生能够生动、形象地学习抽象的数学概念，教师应该在选取学习材料、组织学习活动时，充分考虑数学概念的形成过程、呈现方式以及学生原有的知识结构。“因数与倍数”是人教版小学数学五年级下册的学习内容，研究数与数之间的关系。这对五年级的学生而言还是比较抽象、枯燥。笔者追本溯源，尝试从概念的形成和发展历程中寻求教学启示，目的是解决概念教学中遇到的瓶颈问题，促进学生对概念的深度理解。

一、追本溯源，启发教学

“因数与倍数”单元，是初等数论里的内容，研究整数之间的关系。数论里很多概念的产生不是因为生产生活的需要，更多的是因为数学自身发展的需要。笔者追本溯源，发现毕达哥拉斯学派是初等数论的开创者。“万物皆数”是他们学派的一个重要观点。除了0之外，每一个数都可以在自然界找到对应物品。他们还认为，数不但有量的多寡，而且具有几何形状。这个学派非常喜欢通过规则的图形研究整数。例如他们将自然数按形状分为线性数、长方形数、正方形数、三角数和五角数等。“数形结合”让数论这种纯数字的内容，变得直观生动有趣。根据历史发生相似性原理，五年级学生的思维发展水平与古希腊时期数学发展水平相似。我们可以尝试用图形研究数的方式，去引导学生学习因数与倍数的相关知识。

此外我国数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，足以说明数与形是密不可分的。笔者通过比较人教版、北师大版和苏教的教材发现，因数与倍数的引入方式有所不同：人教版采用纯算式情景导入，根据整数除法进行定义。北师大版和苏教版采用几何模型导入，基于乘法给出因数与倍数的描述性定义。基于以上分析，本课教学以史为镜，运用毕达哥拉斯学派探究整数之间关系的方法，以数形结合的方式探究因数与倍数的相关概念，使得“概念”可视化和结构化，促进学生对概念的深度理解。

二、多元表征，促“概念”可视化

（一）动手操作，使“概念”看得见

几何直观主要是指“运用图表描述和分析问题的意识和习惯”。它有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。几何直观是处于形象思维的小学生学习数学的有效方法。在教学中要建立形与数的联系，利用图形的“直观”去理解数的“抽象”。在教学因数与倍数的概念时，可以让学生用12个相同的小正方形拼摆成一个长方形，有几种摆法？再在方格纸中画一画，并用除法算式记录每种摆法。在这个过程学生能够直观感受图形与除法算式的关系，建立“数”与“形”的链接。在结合图形和除法算式说因数和倍数的关系时，引导学生发现正方形的总数是行数和每行的数量的倍数，行数和每行的数量是正方形总数的因数。这样就把抽象的概念直观化，使学生看得见。从形的角度来解释，有余数的算式对应的图形不是长方形，不存在因数与倍数的关系。在此基础上再出示定义，学生通过对比发现要在整除的前提下除法算式里才存在因数与倍数的关系。在图形的支撑下，学生看到了“因数和倍数”的直观表象，促使学生理解概念。在找一个数的倍数时，学生同样可以在方格纸上先圈出1倍数，再依次圈出其他倍数。这样直观看到一个数的倍数的表现形式，也可以感受一个数的倍数特征。

学生有了用图形探究因数与倍数的经验，可以借助经验继续研究质数和合数。质数和合数的概念是基于数的因数的个数进行定义。学生往往和奇数、偶数混淆。在定义之前教师可以让学生在点子图里画一画，然后让学生去给图形分类。线性图形的数，说明它的因数只有1和它本身，代表的数是质数。长方形的数，说明它的因数除了1和它本身还有其他的因数，，代表的数是合数。利用数字的几何特征，去理解质数和合数，有利于学生理解和掌握概念，同时也能激发学生学习数学的兴趣，以“形”为链接，促使学生主动建构知识之间的联系。

（二）语言表述，使“概念”听得见

语言是思维的外壳，学生用语言表达思考的过程，呈现对概念和方法的理解程度。例如，在描述12÷3=4这个算式里的因数与倍数关系时，教师可以采用先示范，再用模仿的方式引导学生用规范的语言描述：谁是谁的因数，谁是谁的倍数。并通过反例加深学生对因数与倍数的理解。在这个过程中让学生感受到它们表述的是两个数之间的关系，必须说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。在判断18和7是否存在因数和倍数的关系时，引导学生用规范的数学语言进行判断，如因为18÷7=2……4，不能整除，有余数，所以不存在因数与倍数的关系。通过对正例和反例的规范表达，促进对概念的理解。在概念教学时，教师要引导学生多用规范的数学语言表达自己的思考过程，使思维听得见，抽象的概念也变得可视化。

学生在经历了动手操作，直观感知概念的特征，通过规范的语言描述概念，理清概念之间的关系。在此基础上再让学生抽象概括，抓住概念的本质。这样更加符合学生的认知规律。在这个过程中，学生能够对概念进行深入的理解和自主建构，提高自身的思维能力。

（三）概念构图，使“概念”结构化

“概念构图”指用简要的文字、符号、图形等依据一定的关系，画出层次清晰的知识结构图。利用概念构图的直观可以帮助学生将零散的概念以框架的形式聚集起来。在进行因数与倍数单元复习时，以概念构图为抓手对本单元的内容进行整理和分析，进一步理解相关概念的意义，理清概念间的层级关系。在课前先让学生初步构建概念图以呈现自己最初的思维状态；在课堂上展示点评梳理概念之间的关系，最后让学生进行反思后重构概念图，修订和完善自己的思维。学生经历了“初构概念图—点评概念图—重构概念图”的过程，借助思维可视化，达到理解的进阶。同时在这个过程中，概念构图将隐形的思考过程直观地呈现出来，教师可以发现学生思考的方式，进而引导思考走向。如学生容易混淆质数和合数，奇数和偶数。认为偶数都是合数，质数就是奇数。通过概念构图使学生能够明确奇数和偶数的概念是以是否为2的倍数为依据进行定义，而质数和合数是以因数的个数为依据进行定义的，两者不能混淆。

追本溯源，获得教学启示，为传统教学提供一个新的思路。在“因数与倍数”单元教学中充分利用“几何直观”和“概念构图”让抽象的概念跃然纸上，使概念教学可视化。我们还要引导学生使用规范的数学语言表述对概念的理解，抽象概括概念的本质特征。教师需要注意平衡“直观”与“抽象”两者之间的关系，让两者相互配合，促使学生进行深度学习，发展核心素养。

本文系广东省教育科学规划2022年度一般课题“HPM视角下小学高年级段数学文化育人的实践研究”（课题立项编号：1156031）的研究成果。

参考文献

[1]孙晓天，张丹.小学数学义务教育数学课程标准（2022年版）课例式解读[M].北京：教育科学出版社，58-59.

[2]李建良，岳增成.让数学概念在学生手中“复活”——HPM视角下“圆的认识”教学思考与实践[J].小学数学教师，2022（11）：47-50.

[3]葛敏辉.以概念构图重构小学数学课堂样态——基于可视化的课堂新探索[J].小学数学教与学2022（5）：9-10.

[4]吴铮.借助数形结合 优化概念教学——以“倍数与因数”的教学为例[J].小学教学参考，2018：35-36.

[5]何叶飘，黄鼎滴.借概念构图 促整体建构——以“倍数与因数”整理与复习课为例[J].教学月刊小学版（数学），2022（5）：23-25.