【摘要】以“直线与平面垂直”教学为例，设计课堂教学活动，通过创设问题情境启发迁移、借助原有的认知结构促进迁移、重构知识结构深化迁移、反思活动过程完善迁移等四个方面，探索学生迁移能力的培养。

【关键词】学习迁移;认知结构;知识结构

心理学认为，迁移是一种学习对另一种学习的影响，是已经获得的知识经验对新知识的学习所产生的影响，其过程是新旧知识相互作用与相互融合的过程。曹才翰、章建跃指出，数学学习迁移的意义在于使学习者习得的各种数学知识建立起更加广泛而牢固的联系，使之概括化、系统化，形成具有稳定性、清晰性和可利用性的数学认知结构，能够有效地吸收数学新知识，并逐渐向自我生成数学新知识发展，是数学知识与技能转化为数学能力的关键。笔者以“直线与平面垂直”一课为例，通过设计课堂教学活动，探索学生学习迁移能力的培养。

一、创设问题情境，启发迁移

创设问题情境，其实质就是借助学习材料之间结构的相似性启发迁移，为抽象概括做好准备。心理学研究表明，学习材料之间所包含着的共同因素越多，迁移越容易发生;问题之间的结构相似性越大，正迁移的效果越好。教学中，教师可根据学生已有的经验，选择与学习内容本质一致的实际例子来创设问题情境，借助学生亲身体验的生活情境，找准迁移的着力点。

教学片断1：创设情境，直观感知

展示实例：旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我们以直线与平面垂直的形象。

问题1：在我们的生活中有许多直线与平面垂直的实例，请举例说明。

问题2：请同学们把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？

设计意图：

问题中涉及的实例均为学生熟悉的生活经验，其本质是“线面垂直”，是学习迁移的着力点。这一系列实例给予学生直观感知，与本节新知识结构特征一致，借助学习材料间的共同因素启发学习迁移。

二、借助原有的认知结构，促进迁移

迁移的本质是分析并概括新旧知识的本质联系。认知结构迁移理论指出，学生学习新知识时，原有认知结构可利用性越高、可辨别性越大、清晰性与稳定性越强，就越能促进正迁移。因此，教师可以根据学生原有认知结构中具有可利用的知识经验，通过设置问题与动手实践，逐步引导学生辨析新旧知识之间的异同，巩固原有认知结构，同化新知识，促进学习迁移。

教学片断2：动手实践，探究新知

问题4：我们应该如何用语言描述“直线与平面垂直”的实例？

活动1：把一块直角三角板的一条直角边BC落在桌面内，另一条直角边AC直立于桌面，将三角板绕直角边AC转动。

问题5：在转动过程中，另一条直角边BC与桌面是什么位置关系？

问题6：在转动过程中，AC边与BC边所成角是否发生改变？

活动2：观察如图1，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC。随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？

问题7：旗杆AB所在直线与地面上不过点B的直线垂直吗？为什么？

问题8：请同学们思考下列问题，尝试给出直线与平面垂直的定义。

（1）类比直线与直线垂直中，将异面直线转化为相交直线的思路，能否将线面垂直的问题转化为线线垂直的问题？

（2）类比已学内容“直线与直线垂直、直线与平面平行的定义过程”，你能给出“直线与平面垂直”的定义吗？

活动4：学生回答，教师补充完善，板书线面垂直的定义及记法。

设计意图：

学生原有的认知结构中已存在“线面垂直”的直观感知以及对“线线垂直”的认知，为新知识的学习提供了着力点。通过动手实践探索“线面垂直的定义”以及类比 “直线与直线垂直、直线与平面平行的定义过程”，不仅强化了原有认知结构中起固定作用的观念的稳定性和清晰性，又为新的学习提供了密切的联系和强有力的固定作用，增强了新旧知识之间的可辨别性，有助于学生将新知识纳入到原有的认知结构，促进学习迁移。

教学片断3：辨析定义，提炼定理

问题9：若把定义中的“任意一条直线”换成“所有直线”，命题还成立吗？若换成“无数条直线”呢？并说明理由。

活动5：引导学生用直角三角板和笔进行实验（不妨记三角板为?ABC，其中C为直角顶点，笔为l），将直角边AC放在桌面上（不竖直放），再将笔l放在桌面上且与AC平行，那么BC始终垂直l，随着l在桌面上移动，让学生观察BC与桌面是否垂直）。

问题10 ：如果一条直线MN和一个平面α内的一条直线l不垂直，那么直线MN和这个平面α垂直吗？

活动6：学生用书本和笔作为模具，实践操作，每组派一名代表发言。

问题11：根据定义可以判定直线与平面垂直，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直。那么，有没有可行的方法？

活动7：学生拿出课前准备好的一块三角形纸片ABC（如图2），进行操作实验：过?ABC顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图3），将翻折后的纸片竖起来放在桌面上（BD、DC与桌面接触）。

问题12：折痕AD与桌面垂直吗？

问题13：如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？

活动8：观察猜想，动手验证，学生容易发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直（如图4）的充要条件是折痕AD是BC边上的高。当AD垂直于BC时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，DC都垂直。事实上，由基本事实的推论2，平面α可以看成是由两条相交直线BD，DC所唯一确定的，所以当直线AD垂直于这两条相交直线时，就能保证直线AD与内所有直线都垂直。

问题14：请同学们尝试用自己的语言叙述直线与平面垂直的判定方法。

活动9：归纳总结，形成定理。学生根据以上探究归纳出直线与平面垂直的判定定理，并用符号语言表示出来，教师进行点评与完善，形成定理。

设计意图：

教师通过引导学生观察猜想、实践操作、推理证明、概括新知，增强了知识的清晰性，提高了知识的稳定性，使得基本概念得以理解，思想方法得以掌握，数学知识得以概括，从而实现良好的学习迁移。

三、重构认知结构，深化学习迁移

学习迁移理论认为，知识的学习与知识的应用是密不可分的。数学知识的学习是学生主动建构的过程，数学知识的应用是在新条件下对数学知识的重新建构。在学习数学知识时，应积极主动地建构知识的应用范围，在各种不同的情境中应用所学的知识，加深对所学知识的理解。心理学研究表明，知识被应用得越多，其逻辑外延就会越多地变为心理外延，学生对知识的理解就变得越深刻，应用变得越能灵活，迁移变得越有效。

因此，教学中强调应用数学知识解决问题，不仅要解决某个数学问题，而且要由此及彼，由点及类，获得解决同类问题的思想方法，不断完善学生的数学知识结构，促使知识的心理外延更接近知识的逻辑外延，同时扩充知识的心理外延，深化学习迁移。

教学片断4：尝试应用，深化理解

例题1：如图5，在三棱锥P-ABC中，AC=BC，D为AB的中点，PO⊥底面ABC，垂足为O，且O在CD上，求证：AB⊥平面PCD。

变式1：求证：AB⊥PC。

变式2：请你补充一个条件，使得PC⊥平面PAB。

活动10：学生思考，独立求解，学生代表板书，教师讲评，规范解题过程，并引导学生归纳：线线垂直线面垂直。

设计意图：

以上三个小题环环相扣，层层深入，强调知识之间的内在联系与融会贯通。通过创设开放性的探究活动，帮助学生主动探索、合作交流，在各种不同的情景中应用知识，启发学生发现问题之间的本质联系，感受与领悟隐含在概念形成过程中的数学思想方法，有效地重新建构知识，深化学习迁移。

四、反思活动过程，完善学习迁移

心理学研究发现，若一种经验的获得对另一种学习起促进作用，则产生正迁移;否则，就会产生负迁移。教学中，教师应当给学生完善学习迁移提供反思的时空，调动学生已有的知识经验，促使学生在内化、反思等数学活动的过程中，将新旧知识联系起来，分析它们在结构特征上的相似性和表面特征上的相似性，将原有的知识结构纳入新的知识结构，在原有认识的基础上进入一个更高层次的理解和认识，以促进正迁移，减少负迁移，达到完善迁移的目的。

教学片断5：反思回顾，提炼总结

（1）判断直线与平面垂直的途径和方法有哪些？

（2）本节课中，你学会了哪些处理数学问题的思想方法？

（3）结合前面所学知识，如“空间直线、平面的平行”，“直线与直线垂直”等内容，谈谈你从本节的学习中还得到哪些启发？

活动11：学生交流，总结归纳与反思，教师点拨、补充。

设计意图：

反思问题，是学生完善学习迁移效果的环节。通过课堂反思，学生在新旧知识联系与对比中，进一步补充完善之前所学知识 “线线垂直”的证明方法，即“线面垂直线线垂直”，产生学习正迁移;同时，学生也有意识地避免因受到“前面证明‘线面平行’时只需一组‘线线平行’”的干扰而采用“一组‘线面垂直’去判定‘线面垂直’”的错误，从而减少负迁移。

培养高中学生学习迁移能力，要注重依托与新知识有着本质联系的问题情境，立足于学生原有的认知结构，引导学生重新建构知识以深化认知，感悟反思以完善知识结构。培养学生学习迁移能力，让学生从有效地吸收数学新知识逐渐向自我生成数学新知识发展，将数学知识与技能转化为数学能力，是实现数学育人的目的的有效途径。

【本文系汕头市教育科学“十四五”规划课题（课题编号：2021GHB032）】

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020

[2]曹才翰，章建跃.数学学习论与学习指导[M].北京：人民教育出版社，2001

[3]喻平.数学教学心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2010