摘 要：提出基于全变差（TV）模型的图像去噪算法，并给出针对该模型的Bregman迭代正则化算法，在此基础上提出了快速迭代方法。实验和数据分析的结果表明，该算法改善了全变差模型去噪中出现的收敛速度慢、块效应问题，也较好的保留了图像中的边缘信息，该方法要明显优于传统的全变差图像去噪方法。

关键词：全变差；图像去噪；Bregman算法

图像去噪是图像处理的一个重要部分。由于物理条件的限制、实际设备的不完善以及人为因素，所获得的图像不可避免的存在各种噪声，噪声的存在将影响图像处理后续工作的正常进行。图像去噪则是利用各种方法从获得的含噪图像中去除噪声部分，并尽可能保留图像边缘等细节特征。图像去噪的方法有很多，在频域处理中，有小波去噪；在空间域处理中，有以高斯滤波为代表的线性滤波，也有以中值滤波为代表的非线性滤波。高斯滤波因其计算简单而成为一种用途非常广泛的去噪方法，但由于其同时将噪声与信号进行了处理，使得其在去噪的同时也降低了图像的对比度，同时还造成图像边缘的漂移。为了改进这一问题，提出许多非线性去噪方法，其中基于偏微分方程的图像去噪是具有代表性的一类方法。该方法从一个新的角度来阐述图像去噪过程，其中最具代表性是PM（Perona-Malik）方程和全变分算法（Total Variation，TV）。

本文讨论的主要是TV算法。Rudin、Osher和Fatime在1992年提出的全变差正则化模型（TV模型）是迄今最为成功的图像去噪模型之一，在图像去噪领域得到广泛的研究与运用。TV模型的求解一直是学者的研究重点，Rudin等人提出的人工时间演化算法是目前使用最为广泛的求解算法，即利用变分原理，求解TV模型对应的Euler-Lagrange偏微分方程。由于该PDEs存在非线性图像数据量庞大的特点，受CFL影响，在图像的平坦区域该算法收敛速度很慢。为消除CFL的影响，Vogel和Oman提出固定点迭代算法，直接求解稳定的Euler-Lagrange偏微分方程，该方法只线性收敛，收敛速度慢的问题仍然存在。Chan等使用TV模型的双变量描述，得到具有鲁棒性的求解方法。上述各种求解算法均存在收敛速度慢的问题。本文将在研究Bregman迭代正则化的基础上，建立求解TV模型的快速迭代算法。

1 全变差正则化模型

由于噪声和图像的细节特征主要集中于图像高频部分，因此在对图像进行去噪的过程中，常会使图像的某些重要特征（如边缘、细小纹理等遭到破坏）。对于加性噪声模型，令u为清晰的原始信号，为含噪的观测信号，即：

=u+n

其中n为具有零均值、标准差为的高斯白噪声。

与图像去噪的逆滤波方法、伪逆方法和最大熵方法相比，TV方法在保护图像边缘和平滑噪声的问题上更胜一筹。TV方法通过引入一定的约束将图像去噪转换成适定问题，并能确保图像去噪结果的存在性、唯一性，且具有受噪声干扰较小的优点。

RUDIN等研究发现，含噪声图像的总变差（如图1）明显比无噪图像的总变差大，因此将总变分定义为梯度幅值的积分：

其中：分别为图像u在x和y方向的梯度；为图像u的定义域。降低总变差则能降低噪声，因此，图像去噪问题可转化为以下最小化问题

图1表明，全变差最小化可以降低噪声，但不能对解进行平滑作用，这样将会造成在最小化全变差过程中，图像边缘被保存。如果将作为平滑性的度量，则对于图1中的3个函数来说，有：

即曲线3是最平滑的，曲线2次之，曲线1最不平滑。在最小化时，大的跳变将最先被平滑。在图像去噪过程中，全变差具有保留图像边缘的作用。

由Lagrange乘子法则，全变差最小去噪问题相当于求解E（u）的最小化问题：

式中，为正则化参数。

2 构建快速迭代算法

为提高图像去噪的效果，将全变差图像去噪模型转化成如下模型：

将辅助变量，引入到式中，那么上式等价于如下的有约束最优化问题：

将上式转化为无约束最优化问题，以方便对上式约束问题进行求解，即

其中，和是引入的辅助变量。在Goldstein和Osher提出的分裂Bregman迭代算法的基础上，求解各向异性TV去噪模型。首先将上面的问题分解成为以下几个子问题：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

Jia已证明：当时，对于给定的，子问题（1）等价于

（6）

对（6）式两边关于求导，可得

（7）

由于，那么（7）式可转换成以下形式：

又由（4）、（5）两式得到

与，

则

即

（8）

设去噪图像的初始条件为：，那么根据（8）式可以得到（1）的最终求解格式

采用shrink算子来求解（2）、（3）两子问题，即

又因为，那么式（2—5）可简化为

，

对于，将算子cut定义如下

令，，可得快速迭代算法（Fast Iteration Algorithm， FIA）

（9）

（10）

（11）

Jia已证明：对于，且由迭代步骤（9），（10）与（11）可得，当时，有。因此可以保证快速迭代算法收敛到全TV模型的最优解，即。

3.实验结果及分析

为了证明快速迭代算法的高效性，现在在Matlab 7.0的环境下进行实验，利用峰值信噪比与平均结构相似度来评价图像去噪质量。用Lena、Cameraman图像为例，分别用分裂Bregman迭代算法与快速迭代算法来数值计算。实验仿真中，输入图像的大小都是256256，，灰度级是256，加性噪声的标准差分别是20、30和40。迭代次数是10，参数分别是0.08，迭代过程满足以下停机准则：

10-4

图2 去噪前后的Lena图像（噪声标准差δ=20）

图2 去噪前后的Cameraman图像（噪声标准差δ=30）

表1 图像去噪方法的实验结果比较（时间单位：s）

测试图像 评价标准 含噪图像 分裂Bregman

算法 快速迭代

算法

Lena PSNR 21.446 29.019 30.082

MSSIM 0.4373 0.8301 0.8368

Cameraman PSNR 18.630 26.249 28.341

MSSIM 0.2962 0.6813 0.7633

MSSIM 0.6273 0.8811 0.9075

从实验结果可以看出，本文提出的基于Bregman迭代正则化方法的快速迭代求解算法不仅能快速去除噪声，还能保留图像边缘等细节信息，所得去噪图像在主观视觉效果、峰值信噪比和平均结构相似度等方面都有非常大的提高。

参考文献

[1] 吴斌，吴亚东，张红英. 基于变分偏微分方程的图像复原技术[M]. 北京： 北京大学出版社， 2008： 153-174.

[2] RUDIN L， OSHER S. FATEMI E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J]. Physical D， 1992， 60（1/4）： 259-268.

[3] Rosenfeld A ， Kak A C. Digital Picture Processing. New York. USA： Academic Press， 1982.