摘 要：结合现有的弹簧设计理论和方法，本文以某汽车前悬架的变刚度圆柱螺旋弹簧为例，以弹簧丝的直径d，圈数n和旋绕比C为设计变量，弹簧丝的剪切力小于许用剪切力等为约束条件，以弹簧刚度kp尽可能大和弹簧质量最小为目标函数建立多目标优化模型，采用MATLAB自带的优化工具箱编程进行优化设计计算。实例分析表明，本文所提出的多目标数学优化模型简单易行、结果精确，对机械工程制造具有深远的意义。

关键词：多目标 优化；设计；变刚度弹簧

1 前言

优化设计（Optimal Design）技术是一种在解决机械产品设计问题时，依据约束条件，从众多设计方案中寻找使某项或几项设计指标达到最优的先进设计方法。在日常生活和工程实际中，经常要求不仅仅是一项指标达到最优，而是要求多项指标都同时达到最优。像这种在优化设计中同时要求几项指标达到最优值的问题我们称为多目标优化设计问题。[1]多目标优化设计考虑因素比单目标优化设计更全面，优化效果更精确。

弹簧是机械工业中常用的弹性元零件，很多汽车悬架系统采用变刚度圆柱弹簧作为连接元件。[2]现在常用的变刚度圆柱螺旋弹簧主要有变节距，变中径，变簧丝直径或几种同时变化这几种形式，本文主要研究变节距的变刚度圆柱螺旋弹簧。随着生活水平的提高，人们对汽车平顺性，舒适性有了更高的要求。而变刚度弹簧既能在轻载变形量小时变形小，又可以在重载变形量大时变形大，因此受到广大汽车制造商的青睐。但变节距的变刚度弹簧工艺难度大，设计也不成熟，因为本文对研究变刚度螺旋弹簧进行多目标优化，对减少制造成本和时间，提高弹簧刚度具有实际意义。

本文以弹簧刚度kp尽可能大和弹簧质量最小为目标函数，以弹簧丝的直径d，圈数n和旋绕比C为设计变量，以弹簧丝的剪切力小于许用剪切力等为约束条件建立优化模型，运用MATLAB自带的优化工具箱对变刚度弹簧的多目标模型进行优化分析。

2 优化分析过程

概括起来，多目标优化设计大体包括以下几个步骤：

（1）将设计问题的物理问题转化为数学模型。

数学模型描述工程问题的本质，建立合理，有效的数学模型时实现优化设计的根本保障。建立数学模型时要选取设计变量，列出约束条件，给出目标函数。

（2）选择合适的优化方法求解。

选取优化方法时要遵循以下原则：适合数学模型，解题效率高，精确度高，占机时间少。

（3）计算机求解，优化设计方案。

（4）分析比较优化结果。

3 变刚度圆柱螺旋弹簧的数学模型

3.1 设计变量的确定

影响弹簧刚度和弹簧质量大小的设计变量为弹簧丝的直径d，圈数n和旋绕比C。

即，

3.2 目标函数的确定

自20世纪60年代早期以来，多目标优化问题吸引了越来越多不同背景研究人员的注意力。

多目标优化问题（multi-objective optimization problem， MOP）在工程运用上非常普遍并且处于非常重要的地位。

在弹簧设计过程中，不仅要考虑它的功能，还要考虑它的使用寿命，质量和刚度等因素在内。[3]本文以弹簧刚度尽可能大和弹簧质量最小为目标函数。

目标函数为：

其中，ni（i=1，2，3......j）表示节距不同的段数；n表示弹簧的圈数；D2表示弹簧中径，mm；р表示弹簧材料密度，d表示弹簧的簧丝直径，mm；G为弹簧材料的剪切弹性模量，GPa。

3.3 约束条件的确定

本文以某汽车前悬架的变刚度圆柱螺旋弹簧研究，主要从弹簧的强度条件，弹簧中径，簧丝直径，弹簧的旋绕比，弹簧的疲劳强度，稳定约束等方面

来约束。约束条件如下：

（3）弹簧旋绕比条件

4≤C≤16

（4）弹簧疲劳强度条件[5]

式中：[S]为许用安全系数；τ0为弹簧材料的脉动疲劳极限。

（5）不稳定条件

本文研究的弹簧认为是两端固定的，所以

（6） 螺旋升角的条件

3.4 问题的求解

本文研究变刚度圆柱螺旋弹簧是多目标设计问题，一个目标是使弹簧质量最小，另一个是使弹簧刚度尽可能的大。依据同一目标函数法的思想，通过某一个方法把原多目标函数构造为一个新的目标函数，用多目标函数来评价原多目标函数。[5]受此思想的指导，我们用子目标乘除法求解，将 f2（x）/f1（x）作为评价函数，求解设计变量。

4 优化设计的实现

4.1 优化设计的方法

MATLAB的优化工具箱提供了对各种优化问题的一个完整的解决方案。[6]本文所研究的变刚度圆柱螺旋弹簧属于求解有约束的非线性优化问题，我们使用调用函数fmincon求极小值[7]。

系统部分程序如下：

利用文件编辑器为目标函数建立M文件（my fun.m）：

Function f=myfun（x）

由于约束条件中有非线性约束，所以需要编写一个描述非线性约束条件的M文件（mycoun.m）。

.........................

%调用多目标优化函数[8]。

[x，fval，exitflag，output，lambda]=........

fmincon（@myfun，x0，A，b，[]，[]，lb，[]，@mycoun）

运行程序后，对结果进行近似精确，求出最优解。

4.2 优化设计实例

本文以某汽车的前悬架弹簧为例，要求变刚度弹簧的质量最小和刚度尽可能的大。根据系统设计理论，，弹簧的参数如下：kmin=50N/mm，kmax=80N/mm；圈数：，；簧丝直径为12≤d≤2；弹簧中径为；弹簧最小载荷是4KN，最大载荷是16.39KN；根据原车悬架弹簧设计参数：所选用的材料是50Crv，密度ρ=7900kg/m3；剪切弹性模量G=81Gpa；许用剪切力；脉动疲劳极限；安全系数。把这些数据带入已经编好的程序中，得到优化结果，如表1。

通过实验分析比较，弹簧质量与弹簧刚度比减少了38.4%。可见，本文建立的多目标优化模型的可行性。

5 结论

本文对变节距的变刚度螺旋弹簧进行多目标优化设计，以弹簧质量最小和刚度最大量两个目标建立数学模型，运用MATLAB自带的优化工具箱进行优化分析。最后，以某汽车前悬架弹簧为例，计算分析了弹簧的质量和刚度之比，验证了此优化方案的可行性。此优化方案不仅对变节距的螺旋弹簧适用，还可以应用到其他形式的弹簧中，对工程机械制造行业有实践意义。

参考文献

[1] 石丽娜，曾红等.基于ANSYS的变刚度螺旋弹簧优化设计[J].辽宁工业大学学报，2009（2）：44-46.

[2] 时培成，龚建成等.汽车悬架变刚度螺旋弹簧最优化设计[J].现代制造工程，2006（11）：112-113.

[3] 姚伟，于学华等.车用变刚度圆柱螺旋弹簧的逆向设计和刚度有限元分析[J].汽车科技，2001（11）：16-17.

[4] 谌霖霖 .变刚度圆柱螺旋弹簧多目标优化设计及参数化实体建模[J].机电工程技术，2010：31-32.

[5] 张英会.弹簧手册[M].北京：机械工业出版社，1997.

[6] 梁尚明，殷国富，等.现代机械优化设计方法[M].北京：化学工业出版社，2005.

[7] 王科社.机械优化设计[M].北京：国防工业出版，2007.

[8] 王正林，刘明.精通MATLAB7[M].北京：电子工业出版，2006.

作者简介

屈贤（1988-），女，山东人，重庆交通大学，研究生，从事车辆系统动力学及山区车路协同安全性。

张金龙（1989-），男，江苏人，重庆交通大学，研究生，从事车辆安全及流体力学研究。