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“数形结合”帮助构建数学模型

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1.通过观察发现图形特点,从而探索点阵中的规律。

2.通过本活动的教学,培养归纳,概括能力。

3.增强学生的审美观念,培养学生审美能力。

教学重点:在活动中培养分析、推理的思维能力,直观感知“点阵”有序排列。

教学难点:用不同的算式表示平方数,并能正确找到边长。

教具、学具:课件,点阵图。

教学活动:

1 激发兴趣、引入新知

1.课件出示奥运会方阵图片,学生说说感受。如果把每个演员看作一个点,(演示),,再把这些点有规律地排列起来,就形成了一个美丽的图形(出示),这就是今天我们研究的点阵图。

2.介绍点和点阵。

师:二千多年前,希腊的数学家就开始研究点阵了,这节课,我想请你们也来尝试一下,当一回科学家,好不好?

【设计意图】利用“奥运会方阵”图引出点阵,激发学生的学习兴趣和求知欲望,介绍点阵体现数学知识的文化以及数学在生活中的应用价值。

2 多方观察、体验探究

2.1 探究横纵划分规律

师:我们一起来看看数学家们当年研究的点阵图,边看边说出各个点阵的点子数。

(依次出示前四个正方形点阵图,并逐步引导学生想像、猜测:下一个点阵图会是什么样子呢?有几个点构成?)

生:根据规律猜想。

师:在心里想第三个、第四个点阵图是什么样子。(示图)与你的想像一样吗?

师:怎么猜得这样准确?有窍门吗?

教师根据学生的回答,板书第一组算式。

1×1=1

2×2=4

3×3=9

4×4=16

师:像1、4、9、16这样的数叫平方数。正方形点阵最能体现平方数的特点。(板书:平方数)

师:这种数法真是又快又方便!照这样下去,第五个点阵有多少个点呢?第六个呢?第七个?八个?……第100个呢? 第n个点阵呢怎样用算式表示?”

师:好像很有规律哦?谁能用一句话概括一下你发现的规律?

生:这样有序排列下去,第几个点阵点的个数就是几的平方。

师:你们能画出第五个点阵图吗?

指名学生上台用圆形磁铁摆,其余学生画一画。

【设计意图】让学生体会到点阵中的规律可以从形状和点数这两方面进行,从这两方面再来研究这组点阵中的规律。通过正方形方阵计算点数,得到平方数的特征。体现了数形结合的思想,借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握。

2.2 探究拐弯划分规律

师:刚才同学们发现了点阵中的一个规律,这些点阵中还有其它的规律吗?还能换个角度去思考吗?

小组合作研究。(课件演示)

学生汇报,引导学生列算式。

生:点阵中的个数是:

1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

………………

师:这组算式的规律是什么?

生:从1起连续奇数的和。(板书)

师:如果按这样的划分方法划分第六个正方形点阵,它的点数该如何用算式来表示?第8个呢?第n个呢?

生根据规律写出算式并总结规律。

师:请用你的方式概括一下你发现的规律。

生:这样划分后,点阵中的规律是:1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,……1+3+3+7+……+(2n-1)

【设计意图】《课标》提出重视学生在数学学习活动中的主体地位,学生通过自主探索等方式通过实践,亲身参与教师设计的教学从而在数学思考、问题解决和情感态度方面得到充分的发展。当学生独立思考仍然不能解决的问题,就会产生合作学习的需要。体现了学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者与合作者这一新课程理念。

2.3 探究斜着划分规律

师:同学们从不同的角度研究了同一点阵不同的规律,想一想,还有其他的规律吗?

师:请同学们独立思考,写出算式,然后汇报。”

问:你是从哪个角度研究的呢?(学生汇报。)

(教师板书)

第1个: 1=1

第2个: 1+ 2+1=4

第3个: 1+2+3+2+1=9

第4个: 1+2+3+4+3+2+1=16

师:猜一猜老师接下来想提什么问题?(概括规律)

【设计意图】《课标》指出:数学活动经验的结累是提高学生数学素养的重要标志。在一二活动中设计了有效的数学探究活动,学生结累了数学活动的经验和数学解决问题的经验。因此,在第三个活动中,让学生自己独立思考,教师巡视,再作全班交流。这样既面向全体学生又关注了个体差异,从而增强学习数学的兴趣和信心。

2.4 总结提升

师:同学们,刚才我们从三个不同角度观察同一组正方形点阵,得到了三条不同的规律,也许再换一个角度观察,还可以得到新的规律,今天咱们暂不作研究。既然是同一组点阵,那么黑板上的三组算式的得数就应该分别相等。我们可以用等于号将它们连接起来。这样,三种不同的算式都可以看作是求平方数来计算。

不过我们怎样来求这平方数呢?请同桌讨论交流。

这一知识你们掌握了吗?我出两题考考大家。

出示: 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=( )

1+3+5+7+9+11+13+15=( )

教师小结:今天我们研究了正方形点阵,在学习这一内容时,你们都用到了哪些学习数学的方法呢?观察和思考是我们学习数学必不可少的方法,那么今天我们还学习了一种新的方法,借助图形来研究数,最终发现了点阵中隐含的规律。

【设计意图】《课标》指出:数学知识的教学,应注重学生对所学知识的理解,体会数学知识之间的关联。在学生从不同角度研究了不同的规律后,进行一个总结和提升,注重了在数学教学中知识的“生长点”与“延伸点”引导学生感受数学的整体性。

3 延伸应用,形成策略

生活中,除了正方形点阵外,还有其它形状的点阵吗?

3.1 长方形点阵(书P83试一试第1题)

学生独立用算式表示点阵中点的个数并发现规律。

3.2 三角形点阵(书P83试一试第2题)

学生从不同角度划分点阵,寻求多种解决问题的方法。

3.3 自创点阵图(三道题目任选一道题目完成)

a.根据图形布点。b.根据数字设计点阵图。c.自由创作点阵图。

【设计意图】学生在“探究”和“思考”的过程中积淀了数学活动经验,通过延伸应用培养学生举一反三的能力,学生通过观察、尝试、归纳、画图等活动中发现了规律,培养学生运用这些问题解决的策略解决实际问题,这样既发展了学生合情推理能力也发展了学生演绎推理能力。

4 参与评价,总结全课

4.1 引导学生回忆总结

师:通过这节课的学习,你有什么收获?

总结:同学们,我们今天研究了点阵中的规律,用点阵图发现了一些数的特征。由于图形具有直观形象的特点,会使抽象的数学问题变得生动具体,是我们学习数学的一大法宝,我们以后在研究数学问题时,要学会利用图形来帮助解决。在生活中,到处都存在各种各样的规律,老师希望同学们从现在开始做个有心的人,在以后的生活和学习中,多观察、多思考,继续去发现更多、更奇妙的规律。

4.2 参与评价,增强自信

师:同学们这节课你对自己或同学的表现满意吗?能评价一下自己或同学的表现吗?

最后,老师送给大家一句话:“善于观察,勤于思考,数形结合,发现规律.哪里有数学,哪里就有美!数学美把自然规律抽象成一幅简洁准确的图像!”

【设计意图】评价不仅要关注学生的学习结果,更要关注学生在学习过程中的发展和变化。因此,让学生总结反思的同时,参与评价,通过评价得到的信息,可以了解学生数学学习达到的水平和存在的问题,帮助教师进行总结与反思。

5 板书设计:

点阵中的规律

1 = 1 = 1 = 12 平方数

4 = 1+3 = 1+2+1 = 22

9 = 1+3+5 = 1+2+3+2+1 = 32

16 = 1+3+5+7 = 1+2+3+4+3+2+1 = 42

25 = 1+3+5+7+9 = 1+2+3+4+5+4+3++2+1 = 52

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